Что делать, если собака породы стафф напала на питомца и хозяева перестали оплачивать лечение?

В такой ситуации обратиться в суд вполне возможно, и по описанным обстоятельствам у вас есть доказательства, которые могут быть достаточными даже без видеозаписи нападения. Важно сейчас правильно зафиксировать всё.

Соберите все доказательства

ветеринарные документы: диагноз, назначения, чеки, квитанции об оплате лечения;
заключение о характере травм (особенно важно, что была травма шеи и нарушение двигательных функций);
переписку с владельцами собаки, где они признают факт нападения или обсуждают оплату;
запись телефонного разговора (в суде она может быть использована как доказательство, если вы участвовали в разговоре);
данные свидетелей (ФИО, телефоны, адреса — чтобы суд мог их вызвать).

Отсутствие видео не означает проигрыш. В гражданских делах доказательства оцениваются в совокупности.Установите владельца собаки
    Если отец девочки отказывается давать документы, можно обратиться с заявлением в полицию (по факту причинения вреда животному и возможного нарушения правил содержания собаки);
попросить установить владельца собаки и получить объяснения.

Кроме того, если собакой управлял несовершеннолетний ребёнок, ответственность обычно будет лежать на родителях как законных представителях.

Направьте письменную претензию
    До суда лучше направить требование владельцам:

оплатить уже понесённые расходы;
оплатить дальнейшее лечение (если оно продолжается);
возместить расходы на экспертизы, если они будут;
установить срок оплаты.

Отправлять лучше заказным письмом с уведомлением или иным способом, чтобы осталось подтверждение.В суде вы можете требовать возмещения расходов на лечение собаки; иные расходы, связанные с происшествием; при наличии оснований — компенсацию морального вреда (суды по вреду животным подходят к этому по-разному, но заявлять требование можно).

Основная позиция будет такая: владелец животного обязан контролировать его поведение и несёт ответственность за вред, причинённый его собакой.

Что касается намордника и снятия амуниции — это может быть дополнительным подтверждением неосторожности владельца, особенно если в месте выгула действовали правила, требующие поводка/намордника.

Я бы также советовала не ждать окончания лечения, а уже сейчас подать заявление в полицию, потому что потом владельцы могут начать отрицать сам факт нападения.

По вашим данным (свидетели + ветклиника + разговоры + частичная оплата первых чеков) перспектива иска выглядит неплохой. Частичная оплата лечения владельцем особенно важна: её можно расценивать как подтверждение того, что он признавал свою причастность к ситуации.

Если хотите, можно подготовить текст претензии владельцу стаффа и отдельно  заявления в полицию под вашу ситуацию.