По порядку, оба вопроса решаемы.
По бабушке. Полностью и произвольно запретить ей видеться с внуком нельзя — по ст. 67 СК РФ бабушка как близкий родственник имеет право на общение с ребёнком, а родители не должны препятствовать без причины. Но это право не безусловное: вы вправе ограничить общение — например, только в вашем присутствии и ограниченное по времени, — и тем более если общение вредит ребёнку или идёт против его интересов. Для годовалого малыша присутствие матери при встречах — не каприз, а обоснованное условие в силу возраста и привязанности.
На практике: если бабушка не согласна с вашими ограничениями, она может обратиться в органы опеки, а затем в суд. Суд определит порядок общения исходя из интересов ребёнка — может установить встречи в вашем присутствии, ограничить их или, при вреде для ребёнка, отказать. Последнее слово в споре — за интересами ребёнка.
По месту жительства ребёнка на время развода. Автоматически годовалый ребёнок ни к кому не «присуждается» до решения суда. Но на практике малолетние, тем более грудного возраста, почти всегда остаются с матерью — суд учитывает возраст, привязанность и кто фактически ухаживает. Пока идёт спор, ребёнок остаётся там, где живёт сейчас; силой забрать его второй родитель не вправе. При разводе суд обязан решить, с кем останутся дети (ст. 24 СК РФ), а при остром споре можно просить определить место жительства ребёнка отдельно (ст. 65 СК РФ), не дожидаясь конца бракоразводного дела.
Что делать:
1. Ограничения по общению с бабушкой формулируйте разумно: не «запрет», а условия (в вашем присутствии, по времени) — так позиция в опеке и суде будет сильнее.
2. Если есть основания опасаться за ребёнка при общении — фиксируйте их (свидетели, обстоятельства).
3. По ребёнку — по возможности оформите с супругом письменное соглашение о том, с кем он живёт; при споре готовьте заявление в суд об определении места жительства.
4. Соберите доказательства, что основной уход на вас: медкарта, кто водит к врачу, режим кормления и так далее.
Бабушка — со стороны отца или ваша мать, и есть ли конкретные основания опасаться за ребёнка при её общении? От этого зависит, ограничиваемся мы условиями встреч или ставим вопрос об их прекращении через суд.