Как получить военный билет после увольнения с военной службы, если не выдали при поступлении?

Поставить на учет Вас обязаны были и без военного билета.

Выдача Вам удостоверения личности была основана на приказе Министра обороны РФ от 13.05.2003 N 150
«Об удостоверении личности военнослужащего Российской Федерации»

5. При увольнении военнослужащего с военной службы штабы воинских частей (кадровые органы) в графе «Изменения в служебном положении» удостоверения личности производят запись об увольнении со ссылкой на номер и дату приказа по личному составу, которая заверяется подписью начальника штаба воинской части (начальника кадрового органа) и скрепляется гербовой печатью. При этом слово «назначен» зачеркивается.

При обращении в военкомат с заявлением о постановке на воинский учет удостоверение у Вас подлежало изъятию.

На этот счет приказом определялось, что 

Удостоверения личности военнослужащих из состава прапорщиков, мичманов и офицеров, уволенных с военной службы, изымаются в военных комиссариатах районов, городов (без районного деления), административных округов и равных им административных образований при принятии военнослужащих на воинский учет, приобщаются к их личным делам и хранятся в них в установленном порядке.

Для целей постановки Вас на воинский учет Вам достаточно предъявить удостоверение личности после его изъятия в военкомате Вам должны выдать военный билет.

На этот счет приказом Министра обороны РФ от 22.11.2021 N 700 «Об утверждении Инструкции об организации работы по обеспечению функционирования системы воинского учета»

установлено, что 

16. При постановке граждан на воинский учет в военном комиссариате заполнение документов воинского учета осуществляется на основании следующих документов:
1) для военнослужащих, проходивших военную службу по контракту в федеральных органах исполнительной власти или федеральных государственных органах, в которых федеральным законом предусмотрена военная служба, уволенных с военной службы с зачислением в запас, — паспорт гражданина Российской Федерации; удостоверение личности военнослужащего Российской Федерации 

Предоставление удостоверения является достаточным основанием для заполнения и выдачи Вам военного билета как документа воинского учета.

Выдача документов воинского учета гражданам осуществляется после их постановки на воинский учет в военном комиссариате. Военный билет выдается прапорщикам и мичманам, уволенным с военной службы в запас.

Поэтому подаете заявление о постановке на воинский учет и о выдаче Вам военного билета.

Итребуете выдать Вам письменный мотивированный отказ в постановке на воинский учет. На основании данного отказа будет возможность обжаловать отказ в постановке на воинский учет.