Можно ли по справке, выданной ФМС вместо паспорта, получить банковскую карту?

Посмотрите условия выдачи карт в части того допускается ли выдача только на основании паспорта или же допускается выдача и на основании иных документв (например, временного удостоверения личности).

Постановление Правительства РФ от 08.07.1997 N 828
(ред. от 18.02.2014)
«Об утверждении Положения о паспорте гражданина Российской Федерации, образца бланка и описания паспорта гражданина Российской Федерации»

До оформления нового паспорта гражданину по его просьбе выдается территориальным органом Федеральной миграционной службы временное удостоверение личности, форма которого устанавливается Федеральной миграционной службой.