Какой предмет иска - неосновательное обогащение или признание договора недействительным при взыскании суммы в случае отказа в регистрации перехода права собственности на квартиру

Вообще согласие либо есть, либо его нет (ст.157.1 ГК РФ). Это не условная сделка, то есть в регистрации отказать не имели права, даже если поступило заявление от органов опеки об отказе от уже данного согласия на сделку.

Второй момент: квартира, судя-по-всему, была уже передана, поэтому, по общему правилу, Вы являетесь законным владельцем недвижимости и можете принудить к государственной регистрации Продавца через соответствующий иск (п.61 Постановления 10/22).
Оспаривать действия госрегистратора безосновательно, так как имеется спор о праве и затрагиваются интересы детей (п.56 Постановления Пленума ВС РФ и ВАС РФ №10/22 от 29.04.2010г.).
Ваши действия по принятию возвращенной денежной суммы можно квалифицировать как соглашение о расторжении договора купли-продажи, однако, с учетом суммы сделки (более 10 тысяч рублей) (п.1 ст.161 ГК РФ), последствием ее совершения в устной форме будет ее недействительность, то есть оспоримость (п.1 ст.168 ГК РФ), так как интересы ребенка здесь не нарушаются, а, наоборот, защищаются.
Признать такую сделку недействительной может суд, но скорее всего в иске откажут, так как для Вас она не повлекла неблагоприятных последствий (оценочный характер) п.2 ст.166 ГК РФ, да и еще направлена на защиту интересов детей.
Значит, такая сделка действительна, то есть влечет предусмотренные ею правовые последствия. В подтверждения ее условий ссылка на свидетельские показания не допускается (п.1 ст.162 ГК РФ), поэтому подтверждать условия можно только с помощью письменных доказательств (ст.431 ГК РФ), в том чсиле с учетом цели, преследуемой договором (возвращение сторон в первоначальное состояние), поэтому суд должен обязать ответчика вернуть уплаченные денежные средства в оставшейся части, так как скорее всего, иных условий (о возврате денег только в размере фактически исполненного) суд не выявит.
На основании изложенного могу предложить:
1. Заявить иск о взыскании невыплаченных денежных средств с ответчика (ответчик — законный представитель (п.3 ст.28 ГК РФ).
С указанной мною мотивировкой.