Ознакомьтесь с официальной информацией УФМС (я скопировала с сайта УФМС по Свердловской области, но закон на всей территории РФ един):
В соответствии со статьей 7 Закона Российской Федерации от 25 июня 1993 г. № 5242-1 «О праве граждан Российской Федерации на свободу передвижения, выбор места пребывания и жительства в пределах Российской Федерации» снятие гражданина Российской Федерации с регистрационного учета по месту жительства производится органом регистрационного учета в случае
а) Изменения места жительства — на основании заявления гражданина о регистрации по новому месту жительства или заявления о снятии его с регистрационного учета по месту жительства (в письменной форме или в форме электронного документа). При регистрации по новому месту жительства, если гражданин не снялся с регистрационного учета по прежнему месту жительства, орган регистрационного учета в 3-дневный срок обязан направить соответствующее уведомление в орган регистрационного учета по прежнему месту жительства гражданина для снятия его с регистрационного учета.
Отсюда следует, что Вам достаточно подать заявление о регистрации по новому месту жительства, а снятие с учета по прежнему месту жительства будет произведено для Вас автоматически.