Согласно Гражданскому кодексу
Местом жительства несовершеннолетних, не достигших четырнадцати лет, или граждан, находящихся под опекой, признается место жительства их законных представителей — родителей, усыновителей или опекунов.
Местом жительства признается место, где гражданин постоянно или преимущественно проживает.
Из буквального толкования этой нормы, местом жительства вашего ребенка в настоящее время является даже не квартира его отца, а ваша квартира, где ребенок проживает с вами.
Но при этом, согласно семейному законодательству
Место жительства детей при раздельном проживании родителей устанавливается соглашением родителей.
А уже в силу жилищного законодательства,
На вселение к родителям их несовершеннолетних детей не требуется согласие остальных членов семьи нанимателя и согласие наймодателя.
У вас получилось так, что вы обоюдно решили прописать ребенка в квартиру к отцу, что в принципе прямым нарушением закона не является, но и не соответствует действительности. Еще Конституционный суд в свое время указал, что такая регистрация сама по себе не порождает прав и обязанностей, а является, всего лишь, фиксацией места жительства гражданина на основании его уведомления уполномоченному лицу.
Если исходить из нормы гражданского кодекса, несовершеннолетний ребенок не может проживать отдельно от родителя. Поэтому если отец ребенка будет менять свою регистрацию в другом жилом помещении, то по этой логике ребенок должен следовать вместе с ним.
Кроме того, согласно Приказу Федеральной миграционный службы от 11 сентября 2012 г. N 288
В случаях, когда граждане, выбывающие к новому месту жительства, намерены перед выездом сняться с регистрационного учета по месту жительства, они обращаются к должностным лицам, ответственным за регистрацию, с заявлением о снятии с регистрационного учета по месту жительства произвольной формы от каждого лица, достигшего 14-летнего возраста (от имени лица, не достигшего 14-летнего возраста, заявление пишет и подает его законный представитель), с указанием адреса, куда они выбывают, а также представляют документы, удостоверяющие их личность.
А законным представителем несовершеннолетнего является один из его родителей. Поэтому, на мой взгляд, отец вашего ребенка действительно может осуществить задуманное.
Вы можете, попробовать этому помешать. Например, вы можете подать заявление в паспортный стол от своего имени, что возражаете против снятия ребенка с рег. учета без вашего письменного согласия. На практике часто встречаются случаи, когда в паспортном столе требуют согласия второго родителя. Ваше заявление может поспособствовать этому требованию.