Могут ли расписать в загсе совершеннолетнего и несовершеннолетнюю, без согласия и ведома родителей?

Могут, но:

«Семейный кодекс Российской Федерации» от 29.12.1995 N 223-ФЗ
(ред. от 04.11.2014)
(с изм. и доп., вступ. в силу с 01.01.2015)
Статья 13. Брачный возраст
1. Брачный возраст устанавливается в восемнадцать лет.
2. При наличии уважительных причин органы местного самоуправления по месту жительства лиц, желающих вступить в брак, вправе по просьбе данных лиц разрешить вступить в брак лицам, достигшим возраста шестнадцати лет.

«Обычными основаниями, по которым возбуждаются ходатайства о снижении брачного возраста, являются беременность женщины, рождение ею ребенка, фактически сложившиеся брачные отношения.» Подготовлен для системы КонсультантПлюс Гришаев С.П. Постатейный комментарий к Семейному кодексу РФ // СПС КонсультантПлюс. 2011.

Но поверье человеку, который имеет опыт семейной жизни — не спешите жить!!!

Здравствуйте, Анастасия.

Небольшое дополнение к ответу коллеги:

Статья 26 Федерального закона от 15.11.1997 N 143-ФЗ «Об актах гражданского состояния»
Лица, вступающие в брак, подписывают совместное заявление о заключении брака и указывают дату его составления.
Одновременно с подачей совместного заявления о заключении брака необходимо предъявить:
— разрешение на вступление в брак до достижения брачного возраста (пункт 2 статьи 13 Семейного кодекса Российской Федерации) в случае, если лицо (лица), вступающее в брак, является несовершеннолетним.