ООО на ЕНВД арендует помещение у родственника. Может ли быть договор аренды безвозмездным и нужно в таком случае арендодателю подавать декларацию о доходах в налоговую?

Договор аренды по определению возмездный. И только так. Безвозмездным является договор ссуды. И это совершенное другой договор. Для ЕНВД не большое имеет значение виды договоров, а вот для иных систем н\о имеет, ибо ООО, безвозмездно пользуясь имуществом, признается имеющим экономическую выгоду в виде той арендной платы, которую оно должно было уплачивать.