Здравствуйте!
Не исключено, что в договоре найма было условие о его пролонгации (продлении) после истечения срока действия.
Кроме того, Вы ведь указываете, что имелась расписка от Вас, в которой Вы признаете долг.
Поэтому данной распиской были признаны как сам долг и его размер, так и тот факт, что Вы снимали квартиру и по истечении срока договора найма.
Что касается неустойки, то либо она предусмотрена самим договором найма, либо арендодатель (наймодатель) потребовал применения процентов за пользование чужими денежными средствами в соответствии со ст. 395 Гражданского кодекса РФ:
1. За пользование чужими денежными средствами вследствие их неправомерного удержания, уклонения от их возврата, иной просрочки в их уплате либо неосновательного получения или сбережения за счет другого лица подлежат уплате проценты на сумму этих средств. Размер процентов определяется существующей в месте жительства кредитора, а если кредитором является юридическое лицо, в месте его нахождения учетной ставкой банковского процента на день исполнения денежного обязательства или его соответствующей части. При взыскании долга в судебном порядке суд может удовлетворить требование кредитора, исходя из учетной ставки банковского процента на день предъявления иска или на день вынесения решения. Эти правила применяются, если иной размер процентов не установлен законом или договором.
Спасибо за ответ