Евгения, Вам нужно написать исковое заявление (желательно по месту жительства отца ребенка) об установлении отцовства и взыскании алиментов. Образец Вам отправлю — можете обратиться через чат. Госпошлина по таким искам истцом не оплачивается — всё должен будет в итоге оплатить отец ребенка (ответчик).
Чтобы Вам не оплачивать проведение экспертизы — необходимо подготовить ходатайство о проведении такой экспертизы, если суд одобрит его и назначит проведение экспертизы, то оплату производить также обязан отец ребенка.
К иску необходимо будет приложить документы, которые указывают на Ваше совместное проживание с ребенком (справка с места жительства), свидетельские показания по возможности, иные документы и фотографии.