Можно ли оформить трудовой договор письменно, спустя 4 месяца после заключения его в устной форме?

Наталья, договор с Вами должны были оформить в день, но не позднее чем через 3 рабочих дня со дня фактического допуска к работе.

Соответственно, Вам просто обязаны предоставить трудовой договор с датой заключения в первые три рабочих дня со дня Вашей работы.

В соответствии со статьей 67 ТК РФ:

Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя. При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе, а если отношения, связанные с использованием личного труда, возникли на основании гражданско-правового договора, но впоследствии были признаны трудовыми отношениями, — не позднее трех рабочих дней со дня признания этих отношений трудовыми отношениями, если иное не установлено судом.