С какими документами нужно идти в суд для обжалования задолженности за ЖКХ?

Не имеет значения, когда Вы это сделаете. Вы можете подать заявление о пропуске исковой давности через канцелярию суда, указав номер дела и приложив к нему копии для сторон, а можете даже устно сделать заявление в судебном заседании.
Содержание примерно такое: в шапке наименование суда, себя, как ответчика (как в иске),

далее слово Заявление
далее текст. Описываете кратко ситуацию — кто когда какой иск подал, ход рассмотрения. далее «требования истца в части взыскания с меня задолженности за такой-то период находятся за пределами исковой давности.

В соответствии со статьёй 196
ГК РФ «Общий срок исковой давности устанавливается в
три года со дня определяемого в соответствии со ст. 200 ГК РФ, в силу которой течение срока исковой, давности начинается со дня, когда лицо узнало или должно было узнать о нарушении своего права. Истцу должно было быть известно о нарушении его права с момента возникновения возникновения задолженности. Однако, истец не воспользовался своим правом требования долга. Иск истцом предъявлен в суд только (дата подачи иска), следовательно требования за период (с начала периода до даты предшествующей подаче иска за три года) заявлены с пропуском исковой давности.

В соответствии с частью 2 статьи 199 прошу применить исковую давность и отказать истцу в удовлетворении требований о взыскании квартирной платы за период ...

дата, подпись.