Может ли ответчик обжаловать назначение алиментов?

Если Вы получили исполнительный лист, значит решение вступило в законную силу.

Согласно п.2 ст.376 ГПК РФ

Судебные постановления могут быть обжалованы в
суд кассационной инстанции в течение шести месяцев со дня их вступления в
законную силу при условии, что лицами, указанными в части первой
настоящей статьи, были исчерпаны иные установленные настоящим Кодексом
способы обжалования судебного постановления до дня вступления его в
законную силу.

Это значит, что если ответчик не обжаловал решение в апелляционном порядке (а он этого либо не сделал, раз уже выдали исполнительный лист), он не имеет право обжаловать и вступившее в законную силу решение суда.Напишите заявление судебным приставам -исполнителям о возбуждении исполнительного производства и приложите исполнительный лист.