Можно ли избежать выплаты?

Добрый день. К сожалению шансов нет и платить придется, поскольку это прямо сформулировано в законе.

Статья 14 ФЗ от 25.04.2002 N 40-ФЗ «Об обязательном страховании гражданской ответственности владельцев транспортных средств»

1. К страховщику, выплатившему страховое возмещение, переходит право требования потерпевшего клицу, причинившему вред, в размере произведенной потерпевшему страховой выплаты, если:
ж) указанное лицо в случае оформления документов о дорожно-транспортном происшествии без участия уполномоченных на то сотрудников полиции не направило страховщику, застраховавшему его гражданскую ответственность, экземпляр заполненного совместно с потерпевшим бланка извещения о дорожно-транспортном происшествии в течение пяти рабочих дней со дня дорожно-транспортного происшествия;

Единственное, что можно предпринять в Вашем случае попробовать договориться об отсрочке или рассрочке платежа.