Можно ли уволиться директору, он же учредитель, если да то как потом подписывать документы?

Если речь идет об ООО, то наличие единоличного исполнительного органа (директора) обязательно. Увольняясь, директор-учредитель должен будет назначить нового директора.

В данном случае мы имеем многократно описанную в юридической периодике ситуацию противоречия норм корпоративного права и норм трудового законодательства.

Согласно ст. 80 Трудового кодекса РФ «Работник имеет право расторгнуть трудовой
договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее
чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом», в данном случае срок предупреждения будет составлять месяц. Особенность «директор-учредителя» еще и в том, что с ним не подписывается трудовой договор, то есть кадровая работа в данном случае будет проделана по минимуму. То есть, рассуждая абстрактно, уволиться директору в данном случае возможно.

Что же делать в данной конкретной ситуации? Если планируете ликвидироваться, то полагаю, что увольнение директора и ликвидация может идти параллельно, а ликвидационная комиссия должна быть предупреждена о том, что директор с такой то даты уйдет со своего поста.