Как подать на алименты, если мы живём в разных городах?

Здравствуйте! Подскажите пожалуйста по вопросу единовременной выплаты по рождению ребенка. Ребенок рождён 2.02.26, зарегистрирован в ЗАГС (ещё нет документа о гражданстве и прописки)я не работающая мама, супруг официально трудоустроен в ООО, мы все граждане РФ, проживаем в Республике Мордовия. Работодателю супруга поступил запрос о данной выплате, в ходе оформления документов, социальный фонд отказал супругу в выплате, так как у нас с ним разные прописки. Мы недавно переехали на новый адрес и я и первый сын прописаны по новому адресу, супруг остался прописан по старому. Социальный фонд мотивирует отказ тем, что якобы супруг присвоит деньги себе, если вдруг мы давно не живём совместно и требует справку о нашем совместном проживании с супруга, в то же время говоря, что такую справку нам никто не даст, ибо и она не дает гарантии нашего совместного проживания. Подскажите пожалуйста, что нам делать в этой ситуации, правомерно ли поступает социальный фонд? Куда нам следует обратиться и на крайний случай, как доказать факт совместного проживания, чтоб оно не могло быть оспорено?

Я - мать-одиночка. Работаю в компании у которой достаточно много филиалов по России. Зарплатная сетка в каждом городе своя. В случае, если я перевожусь в город с меньшей зарплатой, работодатель понижает мою заработную плату, так как переезд и перевод по моей инициативе?