Должны ли в страховой по ОСАГО принять заявление сразу, или там только по записи?

Нет, неправильно. Согласно п. 3.8

«Положение о правилах обязательного страхования гражданской ответственности владельцев транспортных средств» (утв. Банком России 19.09.2014 N 431-П) (ред. от 24.05.2015) (Зарегистрировано в Минюсте России 01.10.2014 N 34204)

Заполненные водителями — участниками
дорожно-транспортного происшествия извещения о дорожно-транспортном
происшествии, оформленные в соответствии с пунктом 3.6
настоящих Правил, должны быть в кратчайший срок, но не позднее пяти
рабочих дней после дорожно-транспортного происшествия вручены или
направлены любым способом, обеспечивающим подтверждение отправки,
страховщику, застраховавшему гражданскую ответственность водителя, или
представителю страховщика в субъекте Российской Федерации по месту
жительства (месту нахождения) потерпевшего либо в субъекте Российской
Федерации, на территории которого произошло дорожно-транспортное
происшествие. Водитель, являющийся потерпевшим, представляет страховщику
свой бланк извещения о дорожно-транспортном происшествии или
заполненный совместно с другими участниками дорожно-транспортного
происшествия бланк извещения одновременно с подачей заявления о
страховой выплате. Извещение о дорожно-транспортном происшествии
водителя — причинителя вреда может быть передано по факсимильной связи с
одновременным направлением его оригинала заказным письмом по указанному
в страховом полисе обязательного страхования адресу страховщика,
застраховавшего его гражданскую ответственность, или представителя
страховщика.

Таким образом из данных правил следует, что можно в страховую вообще не ходить, а сделать все дистанционно.

Можете написать претензию в головной офис страховой компании с указанием проблемы и нарушений страховщиком вышеуказанных Правил или обратиться в Российский Союз Автостраховщиков.