Нужно ли работника уволить или продлить трудовой договор?

Вам не надо работника ни увольнять, ни продлевать трудовой договор. Вы изначально должны были заключить договор на неопределенный срок.

Согласно ст. 327.1 ТК РФ между работником, являющимся иностранным гражданином или лицом без гражданства, и работодателем заключается трудовой договор на неопределенный срок, а в случаях, предусмотренных статьей 59 настоящего Кодекса, — срочный трудовой договор.

В силу ст. 327.5 ТК РФ в случае окончания срока действия патента, вы обязаны отстранить работника от работы. Если в течение месяца патент продлен не будет, трудовой договор прекращается, а вы соответственно, подаете в УФМС уведомление о прекращении трудового договора.

Если у Вас срочный трудовой договор, оформленный с учетом требования ст. 59 ТК РФ, то он продляется в общем порядке в соответствии со ст. 58 ТК РФ.

В случае, когда ни одна из сторон не потребовала расторжения срочного трудового договора в связи с истечением срока его действия и работник продолжает работу после истечения срока действия трудового договора, условие о срочном характере трудового договора утрачивает силу и трудовой договор считается заключенным на неопределенный срок.