Здравствуйте, справка об отсутствии судимости обязательно нужна. Так в соответствии со ст. 351.1 ТК РФ:
" к трудовой деятельности в сфере образования, воспитания, развития несовершеннолетних, организации их отдыха и оздоровления, медицинского обеспечения, социальной защиты и социального обслуживания, в сфере детско-юношеского спорта, культуры и искусства с участием несовершеннолетних не допускаются лица, имеющие или имевшие судимость, подвергающиеся или подвергавшиеся уголовному преследованию (за исключением лиц, уголовное преследование в отношении которых прекращено по реабилитирующим основаниям) за преступления против жизни и здоровья, свободы, чести и достоинства личности (за исключением незаконного помещения в психиатрический стационар, клеветы и оскорбления), половой неприкосновенности и половой свободы личности, против семьи и несовершеннолетних, здоровья населения и общественной нравственности, основ конституционного строя и безопасности государства, а также против общественной безопасности.
Для ребенка справки от педиатра, в которой указано, что он может заниматься спортом, достаточно.
Каких либо дополнительных требований к перечню документов, помимо перечисленных в ТК РФ ( ст. 65) для тренеров не установлено, поэтому вы не имеете право отказать в трудоустройстве в связи с тем, что не предоставлены
В противном случае в соответствии с ч. 6 ст. 64 ТК РФ лицо, считающее, что оно подверглось дискриминации в сфере труда, вправе обратиться в суд с заявлением о восстановлении нарушенных прав, возмещении материального ущерба и компенсации морального вреда — ч. 4 ст. 3 ТК РФ.
При удовлетворении требований, отказ в приеме на работу будет признан необоснованны, а работодателя обяжут заключить трудовой договор с работником.
Касательно справки, которую должны вам предъявлять дети, вот обоснование, на которое вы можете ссылаться:
пункт 8.2.1. СанПиН 2.4.4.1251-03 Санитарно-эпидемиологические требования к учреждениям дополнительного образования детей (внешкольные учреждения):
"При зачислении в объединение каждый ребенок должен представить справку от врача о состоянии здоровья с заключением о возможности заниматься в группах дополнительного образования по избранному профилю".