Увольнение без объяснения причины без выплаты долга по заработной плате

Здравствуйте. Но в трудовой книжке у Вас должно быть основание увольнения, ссылка на статью Трудового кодекса РФ. В статье 77 Трудового кодекса РФ перечислены

Статья 77. Общие основания прекращения трудового договора
Основаниями прекращения трудового договора являются:
1) соглашение сторон (статья 78 настоящего Кодекса);
2) истечение срока трудового договора (статья 79 настоящего Кодекса), за исключением случаев, когда трудовые отношения фактически продолжаются и ни одна из сторон не потребовала их прекращения;
3) расторжение трудового договора по инициативе работника (статья 80 настоящего Кодекса);
4) расторжение трудового договора по инициативе работодателя (статьи 71 и 81 настоящего Кодекса);
5) перевод работника по его просьбе или с его согласия на работу к другому работодателю или переход на выборную работу (должность);
6) отказ работника от продолжения работы в связи со сменой собственника имущества организации, с изменением подведомственности (подчиненности) организации либо ее реорганизацией, с изменением типа государственного или муниципального учреждения (статья 75 настоящего Кодекса);
(в ред. Федерального закона от 02.04.2014 N 55-ФЗ)

7) отказ работника от продолжения работы в связи с изменением определенных сторонами условий трудового договора (часть четвертая статьи 74 настоящего Кодекса);
8) отказ работника от перевода на другую работу, необходимого ему в соответствии с медицинским заключением, выданным в порядке, установленном федеральными законами и иными нормативными правовыми актами Российской Федерации, либо отсутствие у работодателя соответствующей работы (части третья и четвертая статьи 73 настоящего Кодекса);
9) отказ работника от перевода на работу в другую местность вместе с работодателем (часть первая статьи 72.1 настоящего Кодекса);
10) обстоятельства, не зависящие от воли сторон (статья 83 настоящего Кодекса);
11) нарушение установленных настоящим Кодексом или иным федеральным законом правил заключения трудового договора, если это нарушение исключает возможность продолжения работы (статья 84 настоящего Кодекса).
(часть первая в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

Трудовой договор может быть прекращен и по другим основаниям, предусмотренным Кодексом и иными федеральными законами.

Кроме того, статьей 84.1. установлен порядок оформления прекращения трудовых отношений (договора)

Статья 84.1. Общий порядок оформления прекращения трудового договора
(введена Федеральным законом от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

Прекращение трудового договора оформляется приказом (распоряжением) работодателя.
С приказом (распоряжением) работодателя о прекращении трудового договора работник должен быть ознакомлен под роспись. По требованию работника работодатель обязан выдать ему надлежащим образом заверенную копию указанного приказа (распоряжения). В случае, когда приказ (распоряжение) о прекращении трудового договора невозможно довести до сведения работника или работник отказывается ознакомиться с ним под роспись, на приказе (распоряжении) производится соответствующая запись.
Днем прекращения трудового договора во всех случаях является последний день работы работника, за исключением случаев, когда работник фактически не работал, но за ним, в соответствии с настоящим Кодексом или иным федеральным законом, сохранялось место работы (должность).
КонсультантПлюс: примечание.
Об обязанностях страхователя:
— выдавать застрахованному лицу в день прекращения работы справку о сумме заработка за два календарных года, предшествующих году прекращения работы см. Федеральный закон от 29 декабря 2006 г. N 255-ФЗ;
— передавать в день увольнения сведения по начисленным и уплаченным страховым взносам обязательного пенсионного страхования см. Федеральный закон от 01.04.1996 N 27-ФЗ.

В день прекращения трудового договора работодатель обязан выдать работнику трудовую книжку и произвести с ним расчет в соответствии со статьей 140 настоящего Кодекса. По письменному заявлению работника работодатель также обязан выдать ему заверенные надлежащим образом копии документов, связанных с работой.
Запись в трудовую книжку об основании и о причине прекращения трудового договора должна производиться в точном соответствии с формулировками настоящего Кодекса или иного федерального закона и со ссылкой на соответствующие статью, часть статьи, пункт статьи настоящего Кодекса или иного федерального закона.
В случае, когда в день прекращения трудового договора выдать трудовую книжку работнику невозможно в связи с его отсутствием либо отказом от ее получения, работодатель обязан направить работнику уведомление о необходимости явиться за трудовой книжкой либо дать согласие на отправление ее по почте. Со дня направления указанного уведомления работодатель освобождается от ответственности за задержку выдачи трудовой книжки. Работодатель также не несет ответственности за задержку выдачи трудовой книжки в случаях несовпадения последнего дня работы с днем оформления прекращения трудовых отношений при увольнении работника по основанию, предусмотренному подпунктом «а» пункта 6 части первой статьи 81 или пунктом 4 части первой статьи 83 настоящего Кодекса, и при увольнении женщины, срок действия трудового договора с которой был продлен до окончания беременности или до окончания отпуска по беременности и родам в соответствии с частью второй статьи 261 настоящего Кодекса. По письменному обращению работника, не получившего трудовую книжку после увольнения, работодатель обязан выдать ее не позднее трех рабочих дней со дня обращения работника

Вы правильно сделали, что обратились в трудовую инспекцию.