Можем ли мы сделать признание отцовства с присвоением фамилии отца?

Но ведь в суд подаётся, если отец против, а у нас отец полностью за...а вот в ЗАГСе сказали, что мы к ним никакого отношения не имеем и чтоб ехали туда где постоянная прописка, хотя до этого мы там заключали брак. И что было бы если бы я вдруг свидетельство о рождении потеряла или испортила? Меня бы тоже отправили на другой конец страны делать новое?

Есть, конечно, вариант воспользоваться ч. 3 ст. 48, ч. 2 ст. 51 СК РФ

Статья 51. Запись родителей ребенка в книге записей рождений
1. Отец и мать, состоящие в браке между собой, записываются родителями ребенка в книге записей рождений по заявлению любого из них.
2. Если родители не состоят в браке между собой, запись о матери ребенка производится по заявлению матери, а запись об отце ребенка — по совместному заявлению отца и матери ребенка, или по заявлению отца ребенка (пункт 3 статьи 48 настоящего Кодекса), или отец записывается согласно решению суда.
(в ред. Федерального закона от 30.12.2015 N 457-ФЗ)

3. В случае рождения ребенка у матери, не состоящей в браке, при отсутствии совместного заявления родителей или при отсутствии решения суда об установлении отцовства фамилия отца ребенка в книге записей рождений записывается по фамилии матери, имя и отчество отца ребенка — по ее указанию.
4. Лица, состоящие в браке и давшие свое согласие в письменной форме на применение метода искусственного оплодотворения или на имплантацию эмбриона, в случае рождения у них ребенка в результате применения этих методов записываются его родителями в книге записей рождений.
КонсультантПлюс: примечание.
По вопросу, касающемуся применения вспомогательных репродуктивных технологий, см. Федеральный закон от 21.11.2011 N 323-ФЗ.

Лица, состоящие в браке между собой и давшие свое согласие в письменной форме на имплантацию эмбриона другой женщине в целях его вынашивания, могут быть записаны родителями ребенка только с согласия женщины, родившей ребенка (суррогатной матери).

Статья 48. Установление происхождения ребенка
1. Происхождение ребенка от матери (материнство) устанавливается на основании документов, подтверждающих рождение ребенка матерью в медицинской организации, а в случае рождения ребенка вне медицинской организации на основании медицинских документов, свидетельских показаний или на основании иных доказательств.
(в ред. Федеральных законов от 15.11.1997 N 140-ФЗ, от 25.11.2013 N 317-ФЗ)

2. Если ребенок родился от лиц, состоящих в браке между собой, а также в течение трехсот дней с момента расторжения брака, признания его недействительным или с момента смерти супруга матери ребенка, отцом ребенка признается супруг (бывший супруг) матери, если не доказано иное (статья 52 настоящего Кодекса). Отцовство супруга матери ребенка удостоверяется записью об их браке.
3. Исключен. — Федеральный закон от 15.11.1997 N 140-ФЗ.

3. Отцовство лица, не состоящего в браке с матерью ребенка, устанавливается путем подачи в орган записи актов гражданского состояния совместного заявления отцом и матерью ребенка; в случае смерти матери, признания ее недееспособной, невозможности установления места нахождения матери или в случае лишения ее родительских прав — по заявлению отца ребенка с согласия органа опеки и попечительства, при отсутствии такого согласия — по решению суда.
При наличии обстоятельств, дающих основания предполагать, что подача совместного заявления об установлении отцовства может оказаться после рождения ребенка невозможной или затруднительной, родители будущего ребенка, не состоящие между собой в браке, вправе подать такое заявление в орган записи актов гражданского состояния во время беременности матери. Запись о родителях ребенка производится после рождения ребенка.

4. Установление отцовства в отношении лица, достигшего возраста восемнадцати лет (совершеннолетия), допускается только с его согласия, а если оно признано недееспособным, — с согласия его опекуна или органа опеки и попечительства.

Но на мой взгляд, Ваша ситуация указывает на судебный порядок разрешения вопроса признания отцовства, согласно ст. 49 СК РФ.

Запись делается в том населенном пункте, где получали свидетельство о рождении ребенка.

Что касается гипотетической ситуации утери своего свидетельства о рождении, то, действительно, его дубликат придется получать по месту своего рождения.