Что делать, если просят написать заявление на увольнение по собственному?

Здравствуйте!

Ничего не подписывать. Ни в коем случае не увольняйтесь по собственному желанию, собирайте доказательство предвзятого отношения к Вам со стороны работодателя. Пусть сокращают, если они в Вас не нуждаются, тогда Вам будет положено выходное пособие, на основании ст. 178 ТК РФ:

При расторжении трудового договора в связи с ликвидацией организации (пункт 1 части первой статьи 81 настоящего Кодекса) либо сокращением численности или штата работников организации (пункт 2 части первой статьи 81 настоящего Кодекса) увольняемому работнику выплачивается выходное пособие в размере среднего месячного заработка, а также за ним сохраняется средний месячный заработок на период трудоустройства, но не свыше двух месяцев со дня увольнения (с зачетом выходного пособия).
В исключительных случаях средний месячный заработок сохраняется за уволенным работником в течение третьего месяца со дня увольнения по решению органа службы занятости населения при условии, если в двухнедельный срок после увольнения работник обратился в этот орган и не был им трудоустроен.

Или скажите руководителю, что Вы согласны уволиться, но не по собственному желанию, а по соглашению сторон, согласно статьи 78 ТК РФ:

Трудовой договор может быть в любое время расторгнут по соглашению сторон трудового договора.

Тогда, кроме выплат за неиспользованный отпуск, отработанное время, Вы должны получить компенсацию (выходное пособие). О размере выходного пособия Вы сможете договориться с руководством. Возможно, руководитель готов заплатить выходное пособие, для того, что бы расстаться с Вами. Полученное выходное пособие поможет Вам для спокойного поиска работы.
Если Вас работодатель все же уволит (ст.81 ТК РФ), то Вы вправе восстановиться в судебном порядке в течении 1 месяца (статья 392 ТК РФ).
Если работодатель нарушает закон, Вы вправе обратиться с жалобами в ГИТ и прокуратуру.
С Уважением, Надежда.