Имеет ли право директор отказать мне в отпуске на 3 дня за свой счет, ссылаясь на начало учебного года?

Добрый день, в соответствии со статьёй 128 ТК РФ работодатель обязан на основании письменного заявления работника предоставить отпуск без сохранения заработной платы:

— участникам Великой Отечественной войны — до 35 календарных дней в году;

— работающим пенсионерам по старости (по возрасту) — до 14 календарных дней в году;

— родителям и женам (мужьям) военнослужащих, сотрудников органов внутренних дел, федеральной противопожарной службы, таможенных органов, сотрудников
учреждений и органов уголовно-исполнительной системы, погибших или
умерших вследствие ранения, контузии или увечья, полученных при
исполнении обязанностей военной службы (службы), либо вследствие
заболевания, связанного с прохождением военной службы (службы), — до 14
календарных дней в году;

— работающим инвалидам — до 60 календарных дней в году;

— работникам в случаях рождения ребенка, регистрации брака, смерти близких родственников — до пяти календарных дней.

Той же статьёй установлено, что по семейным обстоятельствам и другим уважительным причинам работнику по его письменному заявлению может быть предоставлен отпуск без сохранения заработной платы, продолжительность которого определяется по соглашению между работником и работодателем.

Таким образом, если Вы не подпадаете не под одно из перечисленных оснований, то да, может отказать. В иных случаях предоставление отпуска без сохранения заработной платы. это право работодателя, а не обязанность.