Как доказать, что я работаю в организации?

Конечно!

Статья 67. Форма трудового договора
Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя. При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе, а если отношения, связанные с использованием личного труда, возникли на основании гражданско-правового договора, но впоследствии были признаны трудовыми отношениями, — не позднее трех рабочих дней со дня признания этих отношений трудовыми отношениями, если иное не установлено судом.

Статья 360. Порядок организации и проведения проверок работодателей
Государственные инспекторы труда в целях осуществления федерального государственного надзора за соблюдением трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, проводят плановые и внеплановые проверки на всей территории Российской Федерации любых работодателей (организации независимо от их организационно-правовых форм и форм собственности, а также работодателей — физических лиц) в порядке, установленном федеральными законами с учетом особенностей, установленных настоящей статьей.
Предметом проверки является соблюдение требований трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, выполнение предписаний об устранении выявленных в ходе проверок нарушений и о проведении мероприятий по предотвращению нарушений норм трудового права и по защите трудовых прав граждан.
Основанием для проведения внеплановой проверки является:
обращения или заявления работника о нарушении работодателем его трудовых прав;
запроса работника о проведении проверки условий и охраны труда на его рабочем месте в соответствии со статьей 219 настоящего Кодекса;

Статья 357. Основные права государственных инспекторов труда
Государственные инспекторы труда при осуществлении федерального государственного надзора за соблюдением трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, имеют право:
предъявлять работодателям и их представителям обязательные для исполнения предписания об устранении нарушений трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, о восстановлении нарушенных прав работников, привлечении виновных в указанных нарушениях к дисциплинарной ответственности или об отстранении их от должности в установленном порядке;