Могу ли я получить временную прописку в другом городе, если живу по договору социального найма?

Согласно ст. 83 ЖК РФ в случае выезда нанимателя и членов его семьи в другое место жительства договор социального найма жилого помещения считается расторгнутым со дня выезда, если иное не предусмотрено федеральным законом.

Если вы зарегистрируетесь там по месту пребывания, но не будете менять место жительства (то есть будете там временно проживать), то не должны расторгнуть.

Кроме того, понятие места пребывания и места жительства есть в законодательстве.

место пребывания — гостиница, санаторий, дом отдыха, пансионат, кемпинг, туристская база, медицинская организация или другое подобное учреждение, учреждение уголовно-исполнительной системы, исполняющее наказания в виде лишения свободы или принудительных работ, либо не являющееся местом жительства гражданина Российской Федерации жилое помещение, в которых он проживает временно;
место жительства — жилой дом, квартира, комната, жилое помещение специализированного жилищного фонда либо иное жилое помещение, в которых гражданин постоянно или преимущественно проживает в качестве собственника, по договору найма (поднайма), договору найма специализированного жилого помещения либо на иных основаниях, предусмотренных законодательством Российской Федерации, и в которых он зарегистрирован по месту жительства. Местом жительства гражданина, относящегося к коренному малочисленному народу Российской Федерации, ведущего кочевой и (или) полукочевой образ жизни и не имеющего места, где он постоянно или преимущественно проживает, в соответствии с настоящим Законом может быть признано одно из поселений, находящихся в муниципальном районе, в границах которого проходят маршруты кочевий данного гражданина; (Ст. 2, Закон РФ от 25.06.1993 N 5242-1 (ред. от 02.06.2016) «О праве граждан Российской Федерации на свободу передвижения, выбор места пребывания и жительства в пределах Российской Федерации»)