Как быть в данной ситуации?

Здравствуйте, Константин. Вы хотите улучшить жилищные условия?

В настоящий момент у Вас действует договор найма специализированного жилого помещения, после истечения его срока будет заключен договор соц. найма этого же жилого помещения.

Федеральный закон от 21 декабря 1996 г. N 159-ФЗ «О дополнительных гарантиях по социальной поддержке детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей»
По окончании срока действия договора найма специализированного жилого помещения и при отсутствии обстоятельств, свидетельствующих о необходимости оказания лицам, указанным в пункте 1 настоящей статьи, содействия в преодолении трудной жизненной ситуации, орган исполнительной власти субъекта Российской Федерации, осуществляющий управление государственным жилищным фондом, обязан принять решение об исключении жилого помещения из специализированного жилищного фонда и заключить с лицами, указанными в пункте 1 настоящей статьи, договор социального найма в отношении данного жилого помещения в порядке, установленном законодательством субъекта Российской Федерации.

Членам вашей семьи необходимо будет зарегистрироваться по месту жительства, чтобы когда вы будете заключать договор соц. найма они были в него вписаны.

В дальнейшем Вы сможете встать на учет, в качестве нуждающихся в жилых помещениях. Порядок принятия на учет:

ЖК РФ, Статья 52. Принятие на учет граждан в качестве нуждающихся в жилых помещениях
1. Жилые помещения по договорам социального найма предоставляются гражданам, которые приняты на учет в качестве нуждающихся в жилых помещениях, за исключением установленных настоящим Кодексом случаев.
2. Состоять на учете в качестве нуждающихся в жилых помещениях имеют право указанные в статье 49 настоящего Кодекса категории граждан, которые могут быть признаны нуждающимися в жилых помещениях. Если гражданин имеет право состоять на указанном учете по нескольким основаниям (как малоимущий гражданин и как относящийся к определенной федеральным законом, указом Президента Российской Федерации или законом субъекта Российской Федерации категории), по своему выбору такой гражданин может быть принят на учет по одному из этих оснований или по всем основаниям
3. Принятие на учет граждан в качестве нуждающихся в жилых помещениях осуществляется органом местного самоуправления (далее — орган, осуществляющий принятие на учет) на основании заявлений данных граждан (далее — заявления о принятии на учет), поданных ими в указанный орган по месту своего жительства либо через многофункциональный центр в соответствии с заключенным ими в установленном Правительством Российской Федерации порядке соглашением о взаимодействии. В случаях и в порядке, которые установлены законодательством, граждане могут подать заявления о принятии на учет не по месту своего жительства. Принятие на указанный учет недееспособных граждан осуществляется на основании заявлений о принятии на учет, поданных их законными представителями.
4. С заявлениями о принятии на учет должны быть представлены документы, подтверждающие право соответствующих граждан состоять на учете в качестве нуждающихся в жилых помещениях, кроме документов, получаемых по межведомственным запросам органом, осуществляющим принятие на учет. Гражданину, подавшему заявление о принятии на учет, выдается расписка в получении от заявителя этих документов с указанием их перечня и даты их получения органом, осуществляющим принятие на учет, а также с указанием перечня документов, которые будут получены по межведомственным запросам. Органом, осуществляющим принятие на учет, самостоятельно запрашиваются документы (их копии или содержащиеся в них сведения), необходимые для принятия гражданина на учет, в органах государственной власти, органах местного самоуправления и подведомственных государственным органам или органам местного самоуправления организациях, в распоряжении которых находятся данные документы (их копии или содержащиеся в них сведения) в соответствии с нормативными правовыми актами Российской Федерации, нормативными правовыми актами субъектов Российской Федерации, муниципальными правовыми актами, если такие документы не были представлены заявителем по собственной инициативе. В случае представления документов через многофункциональный центр расписка выдается указанным многофункциональным центром.
5. Решение о принятии на учет или об отказе в принятии на учет должно быть принято по результатам рассмотрения заявления о принятии на учет и иных представленных или полученных по межведомственным запросам в соответствии с частью 4 настоящей статьи документов органом, осуществляющим принятие на учет, не позднее чем через тридцать рабочих дней со дня представления документов, обязанность по представлению которых возложена на заявителя, в данный орган. В случае представления гражданином заявления о принятии на учет через многофункциональный центр срок принятия решения о принятии на учет или об отказе в принятии на учет исчисляется со дня передачи многофункциональным центром такого заявления в орган, осуществляющий принятие на учет.
6. Орган, осуществляющий принятие на учет, в том числе через многофункциональный центр, не позднее чем через три рабочих дня со дня принятия решения о принятии на учет выдает или направляет гражданину, подавшему соответствующее заявление о принятии на учет, документ, подтверждающий принятие такого решения. В случае представления гражданином заявления о принятии на учет через многофункциональный центр документ, подтверждающий принятие решения, направляется в многофункциональный центр, если иной способ получения не указан заявителем.
7. Порядок ведения органом местного самоуправления учета граждан в качестве нуждающихся в жилых помещениях устанавливается законом соответствующего субъекта Российской Федерации.