Здравствуйте, Владимир.
Вам необходимо требовать от управляющей организации, которая осуществляет текущее содержание и ремонт Вашего жилого фонда требовать составления акта недостатков, чтобы исключить их вину.
Если откажутся, то самому с соседями составлять акт затопления, делать фотографии ущерба и следов затопления.
С актом о затоплении можно написать претензию организации, которой Вы видите виновной в причинении ущерба о возмещении ущерба. Оценку ущерба можно провести самостоятельно, по рыночным ценам восстановительного ремонта. Можно смету составить у строителей на ремонт.
Если откажутся выплатить или не ответят, то платить госпошлину и подавать в суд иск о взыскании ущерба.
Если вина управляющей организации, то иск вытекает из Закона о защите прав потребителей и Вы не обязаны платить госпошлину.
В суде при необходимости закажете судебную экспертизу причин возникновения ущерба и стоимости восстановительного ремонта.
При удовлетворении иска, судебные расходы Вам обязаны возместить с ответчика.
С уважением! Г.А. Кураев