Должна ли я ухаживать за двоюродным братом после инсульта?

Если говорить о законе, то лично у Вас такой обязанности нет. А вот на сестер и братьев при отсутствии родителей такая обязанность законом возложена. Только лично у Вас отсутствуют правовые механизмы обязать сестру этим заниматься.

Чтобы такая возможность появилась, у данного брата должен появится законный представитель — опекун, который может быть назначен органом опеки, если данный брат в судебном порядке будет признан недееспособным. Право на обращения в суд имеют близкие родственники, к которым Вы, к сожалению, не относитесь.

В законе есть также указание про совместно проживающих членов семьи, к которым Вас отнести можно, если Вы проживаете совместно и ведете совместное хозяйство. Или же Вам нужно обратиться в орган опеки или в медицинскую психиатрическую организацию, которые также имеют право инициировать подобный судебный процесс.

Вот после этого уже появившийся законный представитель вправе обратиться в суд к сестре и взыскать с неё алименты на содержание брата. Он также может быть помещен в специализированное учреждение.

А за квартиру должен платить наниматель и члены его семьи, если квартира муниципальная или собственники — если квартира в собственности. Ответственность у таких лиц солидарная, т.е. получатель услуги может требовать оплату с любого жильца такой квартиры, а между собой они разбираются сами. Вы можете обратиться в суд и определить размер по оплате коммунальных услуг и тогда будете платить только за свою семью. С составлением иска могу помочь.