Должна ли я в случае проигрыша в суде буду оплатить экспертизу?

Здравствуйте, Ирина.

И эти расходы суд может взыскать с Вас если признает их необходимыми.

Вы вправе возражать против перелета, указывая на возможность добраться другим более дешевым транспортом, но ситуация спорная, могут взыскать.

«Гражданский процессуальный кодекс Российской Федерации» от 14.11.2002 N 138-ФЗ
Статья 88. Судебные расходы
1. Судебные расходы состоят из государственной пошлины и издержек, связанных с рассмотрением дела.
2. Размер и порядок уплаты государственной пошлины устанавливаются федеральными законами о налогах и сборах.
Статья 94. Издержки, связанные с рассмотрением дела
К издержкам, связанным с рассмотрением дела, относятся:
суммы, подлежащие выплате свидетелям, экспертам, специалистам и переводчикам;
расходы на оплату услуг переводчика, понесенные иностранными гражданами и лицами без гражданства, если иное не предусмотрено международным договором Российской Федерации;
расходы на проезд и проживание сторон и третьих лиц, понесенные ими в связи с явкой в суд;
расходы на оплату услуг представителей;
расходы на производство осмотра на месте;
компенсация за фактическую потерю времени в соответствии со статьей 99 настоящего Кодекса;
связанные с рассмотрением дела почтовые расходы, понесенные сторонами;
другие признанные судом необходимыми расходы.

Гражданский процессуальный Кодекс РФ

Статья 100. Возмещение расходов на оплату услуг представителя

1. Стороне, в пользу которой состоялось решение суда, по ее письменному ходатайству суд присуждает с другой стороны расходы на оплату услуг представителя в разумных пределах.

2. В случае, если в установленном порядке услуги адвоката были оказаны бесплатно стороне, в пользу которой состоялось решение суда, указанные в части первой настоящей статьи расходы на оплату услуг адвоката взыскиваются с другой стороны в пользу соответствующего адвокатского образования.

Статья 94. Издержки, связанные с рассмотрением дела

К издержкам, связанным с рассмотрением дела, относятся:
суммы, подлежащие выплате свидетелям, экспертам, специалистам и переводчикам;
расходы на оплату услуг переводчика, понесенные иностранными гражданами и лицами без гражданства, если иное не предусмотрено международным договором Российской Федерации;
расходы на проезд и проживание сторон и третьих лиц, понесенные ими в связи с явкой в суд;
расходы на оплату услуг представителей;
расходы на производство осмотра на месте;
компенсация за фактическую потерю времени в соответствии со статьей 99 настоящего Кодекса;
связанные с рассмотрением дела почтовые расходы, понесенные сторонами;
другие признанные судом необходимыми расходы.