Могу ли я стримить и зарабатывать на этом, если нахожусь на государственной службе?

Добрый день! В силу ч. 2 ст. 2 ГК РФ

Гражданское законодательство регулирует отношения между лицами, осуществляющими предпринимательскую деятельность, или с их участием, исходя из того, что предпринимательской является самостоятельная, осуществляемая на свой риск деятельность, направленная на систематическое получение прибыли от пользования имуществом, продажи товаров, выполнения работ или оказания услуг лицами, зарегистрированными в этом качестве в установленном законом порядке.

при стриме никакой деятельности, осуществляемой на свой риск нет (человек просто транслирует, как он играет), кроме того, суть предпринимательской деятельности — продажа товаров, оказание работ (выполнение услуг). Товар Вы при стриме однозначно не продаете. Что касается работ и услуг согласно п. 3 Постановление Пленума Верховного Суда РФ от 28.06.2012 N 17

в) под работой следует понимать действие (комплекс действий), имеющее материально выраженный результат и совершаемое исполнителем в интересах и по заказу потребителя на возмездной договорной основе;
г) под услугой следует понимать действие (комплекс действий), совершаемое исполнителем в интересах и по заказу потребителя в целях, для которых услуга такого рода обычно используется, либо отвечающее целям, о которых исполнитель был поставлен в известность потребителем при заключении возмездного договора;

Так как игра происходит не по заказу и не в интересах потребителя — то и этот элемент предпринимательской деятельности отсутствует.

Следовательно, стрим не является предпринимательской деятельностью