Какими могут быть последствия, если название моего сайта почти дублирует название другой компании?

Здравствуйте, Илья! Если конкурент действительно является правообладателем товарного знака и адрес Вашего сайта сходен до степени смешения с наименованием зарегистрированного товарного знака, Вам, к сожалению, придется удовлетворить его просьбу. В соответствии со статьей 1484 Гражданского кодекса РФ,

1. Лицу, на имя которого зарегистрирован товарный знак (правообладателю),
принадлежит исключительное право использования товарного знака в
соответствии со статьей 1229 настоящего Кодекса любым не противоречащим закону способом (исключительное право на товарный знак), в том числе способами, указанными в пункте 2 настоящей статьи. Правообладатель может распоряжаться исключительным правом на товарный знак.
2. Исключительное право на товарный знак может быть осуществлено для индивидуализации товаров, работ или услуг, в отношении которых товарный знак зарегистрирован, в частности путем размещения товарного знака:
1) на товарах, в том числе на этикетках, упаковках товаров, которые
производятся, предлагаются к продаже, продаются, демонстрируются на
выставках и ярмарках или иным образом вводятся в гражданский оборот на
территории Российской Федерации, либо хранятся или перевозятся с этой
целью, либо ввозятся на территорию Российской Федерации;
2) при выполнении работ, оказании услуг;
3) на документации, связанной с введением товаров в гражданский оборот;
4) в предложениях о продаже товаров, о выполнении работ, об оказании услуг, а также в объявлениях, на вывесках и в рекламе;
5) в сети «Интернет», в том числе в доменном имени и при других способах адресации.
3.Никто не вправе использовать без разрешения правообладателя сходные с
его товарным знаком обозначения в отношении товаров, для
индивидуализации которых товарный знак зарегистрирован, или однородных
товаров, если в результате такого использования возникнет вероятность
смешения.

Учитывая, что это на данный момент всего лишь просьба конкурента, рекомендую Вам для начала проверить, действительно ли товарный знак, о котором он говорит, действительно зарегистрирован в Роспатенте. И если это действительно так, думаю, Вам придется удовлетворить его желание. Ответственность за незаконное использование товарного знака предусмотрена нормами статьи 1515 ГК РФ:

1.Товары, этикетки, упаковки товаров, на которых незаконно размещены
товарный знак или сходное с ним до степени смешения обозначение,
являются контрафактными.
2. Правообладатель вправе требовать изъятия из оборота и уничтожения за
счет нарушителя контрафактных товаров, этикеток, упаковок товаров, на
которых размещены незаконно используемый товарный знак или сходное с ним до степени смешения обозначение. В тех случаях, когда введение таких
товаров в оборот необходимо в общественных интересах, правообладатель
вправе требовать удаления за счет нарушителя с контрафактных товаров,
этикеток, упаковок товаров незаконно используемого товарного знака или
сходного с ним до степени смешения обозначения.
3. Лицо, нарушившее исключительное право на товарный знак при выполнении работ или оказании услуг, обязано удалить товарный знак или сходное с ним до степени смешения обозначение с материалов, которыми сопровождается выполнение таких работ или оказание услуг, в том числе с документации, рекламы, вывесок.
4. Правообладатель вправе требовать по своему выбору от нарушителя вместо возмещения убытков выплаты компенсации:
1) в размере от десяти тысяч до пяти миллионов рублей, определяемом по усмотрению суда исходя из характера нарушения;
2) в двукратном размере стоимости товаров, на которых незаконно размещен
товарный знак, или в двукратном размере стоимости права использования
товарного знака, определяемой исходя из цены, которая при сравнимых
обстоятельствах обычно взимается за правомерное использование товарного
знака.

Таким образом, конкурент вправе обратиться за защитой своих прав в суд. С уважением, Татьяна.