Имеет ли право администрация Дома культуры заставлять звукорежиссёра петь на концертах и других мероприятиях?

Здравствуйте, Надежда.

Вы же и сами знаете, что не могут вас принуждать делать то, что не входит в ваши должностные обязанности, установленные трудовым договором.

Запрещается требовать от работника выполнения работы, не обусловленной трудовым договором,за исключением случаев, предусмотренных настоящим Кодексом и иными федеральными законами.
ст. 60, «Трудовой кодекс Российской Федерации» от 30.12.2001 N 197-ФЗ (ред. от 03.07.2016) {КонсультантПлюс}

Эти «предусмотренные случаи» — чрезвычайные ситуации, стихийные бедствия и т.п.

Если вас хотят привлечь к иной работе, а вы согласны, то вам должны оформить и производить соответствующую оплату либо за совмещение, либо за совместительство, либо оплачивать разовые работы. Все это должно быть оформлено вашим заявлением-согласием, доп. соглашением к тр. договору, приказом, а не на словах.