По каким статьям необходимо будет вести расследование?

Статья 17.8. Ко АП РФ Воспрепятствование законной деятельности должностного лица органа, уполномоченного на осуществление функций по принудительному исполнению исполнительных документов и обеспечению установленного порядка деятельности судов
Воспрепятствование законной деятельности должностного лица органа, уполномоченного на осуществление функций по принудительному исполнению исполнительных документов и обеспечению установленного порядка деятельности судов, находящегося при исполнении служебных обязанностей, -

влечет наложение административного штрафа на граждан в размере от одной тысячи до одной тысячи пятисот рублей; на должностных лиц — от двух тысяч до трех тысяч рублей.

За недопуск грозит административная ответственность по ст.17.14 КоАП:

1. Нарушение должником законодательства об исполнительном производстве, выразившееся в невыполнении законных требований судебного пристава-исполнителя, представлении недостоверных сведений о своих правах на имущество, несообщении об увольнении с работы, о новом месте работы, учебы, месте получения пенсии, иных доходов или месте жительства, за исключением нарушения, предусмотренного статьей 17.17 настоящего Кодекса, —

влечет наложение административного штрафа на граждан в размере от одной тысячи до двух тысяч пятисот рублей; на должностных лиц — от десяти тысяч до двадцати тысяч рублей; на юридических лиц — от тридцати тысяч до ста тысяч рублей.

Расследование грозит разве что административное, потому что уголовная ответственность предусмотрена только за публичное оскорбление. Как следует из вашего вопроса, оскорблял гражданин приставов через входную дверь своей квартиры.

В данном случае он может быть привлечен к административной ответственности по ст.5.61 КоАП:

Оскорбление, то есть унижение чести и достоинства другого лица, выраженное в неприличной форме, -влечет наложение административного штрафа на граждан в размере от одной тысячи до трех тысяч рублей; на должностных лиц — от десяти тысяч до тридцати тысяч рублей; на юридических лиц — от пятидесяти тысяч до ста тысяч рублей

 ст. 315 УК РФ, предусматривающей ответственность за злостное неисполнение вступившего в законную силу приговора суда, решения суда или иного судебного акта, а равно воспрепятствование их исполнению, однако на практике привлечение к ответственности по ней практически не производится.

Так же можно вести речь об ответственности по ст.319 УК РФ. Оскорбление представителя власти