Добрый день. Дело в том, что дата рождения действительно должна быть указана в исполнительном листе. Федеральный закон от 02.10.2007 N 229-ФЗ (ред. от 28.05.2017) «Об исполнительном производстве» гласит:
Статья 13. Требования, предъявляемые к исполнительным документам
1. В исполнительном документе, за исключением постановления судебного пристава-исполнителя, судебного приказа, исполнительной надписи нотариуса и нотариально удостоверенного соглашения об уплате алиментов, должны быть указаны:
...
5) сведения о должнике и взыскателе:
а) для граждан — фамилия, имя, отчество, место жительства или место пребывания, а для должника также — дата и место рождения, место работы (если оно известно) и для должника, являющегося индивидуальным предпринимателем, также — дата и место его государственной регистрации в качестве индивидуального предпринимателя, идентификационный номер налогоплательщика;
...
Поэтому они обязаны выдать исполнительный лист с указанной информацией. О причинах уклонения ФМС от предоставления ответа суду надо дополнительно разбираться и смотреть — как оформлялся запрос суда в отдел полиции по миграционным вопросам и что они ответили. В паспорте должника данная информация есть, поэтому МВД не может быть не в курсе. Не исключено, что это работники суда «ваньку валяют», а в таком случае надо председателю суда жалобу писать.
Попробуйте ознакомиться с материалами дела и посмотреть — есть там запрос, направленный из суда в полицию или нет.
Место рождения или место жительства?
Данное толкование противоречит статье 6.1 ГПК РФ, которую Вы привели. Судебное разбирательство заканчивается принятием последнего судебного постановления по делу, Исполнительное производство сюда не входит.
Следовательно, ст. 6.1 ГПК РФ не подходит.