Может ли ветеран боевых действий взять отпуск спустя месяц работы?

Артём, добрый день. В случае увольнения по своему желанию Вы должны отработать 2 недели:

Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.

Но если вы можете договориться с работодателем о прекращении трудового договора до истечения этих двух недель

По соглашению между работником и работодателем трудовой договор может быть расторгнут и до истечения срока предупреждения об увольнении.

и если вы возьмете отпуск, то это не снимает с вас обязанность отработать 2 недели.