Может ли внучка оспорить завещание бабушки на постороннего, если она единственная родственница умершей?

Если вы сможете доказать что бабушка не понимала вследствие какого -то заболевания что она подписывает и назначенная судом судебно-психиатрическая посмертная экспертиза по имеющимся медицинским документам это подтвердит, то можно пробовать.

Подать в суд исковое заявление об оспаривания вы можете, однако, единственный возможный способ признать завещание недействительным это доказать, что в момент его заключения бабушка была недееспособна и не осознавало своих действий.

То, что бабушка самостоятельно выбрала наследника не из числа родственников не является основанием для оспаривания.

Завещание также является недействительным в случае несоблюдения установленных Гражданским кодексом РФ правил удостоверения завещания.

То есть если оно удостоверено лицом, не имеющим полномочий по такому удостоверению, когда имеет место завещание, приравненное к нотариально удостоверенному.

Случай также довольно редкий, если в Вашем случае завещание удостоверил непосредственно сам нотариус, то к Вам он не относится. Если Вы воочию завещание не видели, то о его наличии можно справиться у любого нотариуса,

поскольку все наследственные дела содержатся в реестре наследственных дел единой информационной системы нотариата. Такие правила нотариального производства установлены Приказом министерства юстиции РФ от 16.04.2014 № 78.

Доступ к этому реестру имеется у каждого нотариуса. 

Только признать его не действительным, т.е либо что бабушка не осознавала в силу психического расстройства того что делает, либо же при  несоблюдении установленных Гражданским кодексом РФ правил удостоверения завещания.

То есть если оно удостоверено лицом, не имеющим полномочий по такому удостоверению, когда имеет место завещание, приравненное к нотариально удостоверенному.
А так право выбора за ней, то что она выбрала не родственника не является основанием для оспаривания 

Завещание оспаривается в суде. В соответствии с ст. 46 Конституции РФ, право на обращение в суд имеет каждый. Но, из этого не следует, что каждый иск будет судом удовлетворен. Для истца по оспариванию завещания, будет первым препятствием ч.5 ст. 61 ГПК РФ. Далее, дела  по оспариванию завещания являются дорогостоящими, требуют проведения различных экспертиз. А шансы получить удовлетворение иска судом не велики. А потому, если не желаете выкинуть деньги на ветер, то стоит найти очень хорошего специалиста, который сможет исследовать существующие обстоятельства, на предмет удовлетворения Вашего иска судом. И только после этого принимать решение об обращении в суд с иском об оспаривании завещания. Как правило завещания оспариваются в порядке ст. 177 ГК РФ. Если Вы еще несовершеннолетняя, то изучите законодательство про обязательную долю в наследстве.