Можно ли воспользоваться отпуском, который совпал с больничным при увольнении?

По письменному заявлению работника перед увольнением ему могут быть предоставлены все неиспользованные отпуска (ч. 2 ст. 127 ТК РФ). Если работник напишет подобное заявление, то предоставление отпуска будет правом работодателя, а не его обязанностью. Соответственно, он может и отклонить заявление работника о предоставлении отпуска с последующим увольнением, выплатив ему компенсацию за неиспользованные дни отпуска (ч. 1 ст. 127 ТК РФ). Если в данной ситуации работник самовольно уйдет в отпуск, работодатель будет вправе уволить его за прогул (пп. «а» п. 6 ч. 1 ст. 81 ТК РФ).

Юлия1 при увольнении по вашему письменному заявлению работодателем вам могут быть предоставлены неиспользованные отпуска.  Если вам их не предоставят, вам обязаны компенсировать их деньгами. Отпуск подлежит продлению на время нетрудоспособности работника. Таким образом, вам необходимо было в заявлении на увольнение написать,  «Прошу уволить меня по собственному желанию. В связи с предстоящим увольнением прошу предоставить мне неиспользованный отпуск за такой-то год в количестве стольких-то дней». «Увольнение прошу произвести по выходу из отпуска».  

В настоящее время, т.к. вы уже подали заявление на увольнение и не подали заявления на отпуск вам можно будет попробовать подать заявление на использование оставшихся отпусков, но его удовлетворение останется на усмотрение работодателя. Предоставить вам их в натуре он может, но не обязан. Он обязан их компенсировать деньгами.