Действуют ли нормы закона о защите прав потребителей в споре с гос организацией?

Здравствуйте! В данном случае применимы нормы ГК РФ о возмещении ущерба, в частности статья 1064 ГК РФ:

ГК РФ Статья 1064. Общие основания ответственности за причинение вреда

КонсультантПлюс: примечание.
Потерпевший вправе требовать с виновника ДТП возмещение вреда в размере, превышающем выплату по ОСАГО (ПостановлениеКонституционного Суда РФ от 10.03.2017 N 6-П).

КонсультантПлюс: примечание.
Вред, причиненный автомобилю неустановленными лицами, может быть взыскан с лиц, совершивших его угон (Постановление КС РФ от 07.04.2015 N 7-П).

1. Вред, причиненный личности или имуществу гражданина, а также вред, причиненный имуществу юридического лица, подлежит возмещению в полном объеме лицом, причинившим вред.
Законом обязанность возмещения вреда может быть возложена на лицо, не являющееся причинителем вреда.
Законом или договором может быть установлена обязанность причинителя вреда выплатить потерпевшим компенсацию сверх возмещения вреда. Законом может быть установлена обязанность лица, не являющегося причинителем вреда, выплатить потерпевшим компенсацию сверх возмещения вреда.

2. Лицо, причинившее вред, освобождается от возмещения вреда, если докажет, что вред причинен не по его вине. Законом может быть предусмотрено возмещение вреда и при отсутствии вины причинителя вреда.
3. Вред, причиненный правомерными действиями, подлежит возмещению в случаях, предусмотренных законом.
В возмещении вреда может быть отказано, если вред причинен по просьбе или с согласия потерпевшего, а действия причинителя вреда не нарушают нравственные принципы общества.

Ответчиком может быть любое лицо независимо от формы и источника финансирования. Однако, по моему мнению указанные Вами отношения вообще не подпадают под ЗПП

В соответствии с преамбулой закона о защите прав потребителей,

настоящий Закон регулирует отношения, возникающие между потребителями и изготовителями, исполнителями, импортерами, продавцами при продаже товаров (выполнении работ, оказании услуг), устанавливает права потребителей на приобретение товаров (работ, услуг) надлежащего качества и безопасных для жизни, здоровья, имущества потребителей и окружающей среды, получение информации о товарах (работах, услугах) и об их изготовителях (исполнителях, продавцах), просвещение, государственную и общественную защиту их интересов, а также определяет механизм реализации этих прав.

В соответствии с указанным же законом,

потребитель — гражданин, имеющий намерение заказать или приобрести либо заказывающий, приобретающий или использующий товары (работы, услуги) исключительно для личных, семейных, домашних и иных нужд, не связанных с осуществлением предпринимательской деятельности;

В Вашем случае, Вы не являетесь заказчиком указанных услуг.

В связи с чем требовать возмещения ущерба вы можете только в рамках гражданского кодекса от причинителя вреда.