Как оформляется преподавательская деятельность по совместительству?

Добрый день, Елена !

В соответствии со ст. 60.2 ТК РФ (Совмещение)

С письменного согласия работника ему может быть поручено выполнение в течение установленной продолжительности рабочего дня (смены) наряду с работой, определенной трудовым договором, дополнительной работы по другой или такой же профессии (должности) за дополнительную оплату.

В соответветствии со ст. 282 ТК РФ (Совместительство)

Совместительство — выполнение работником другой регулярной оплачиваемой работы на условиях трудового договорав свободное от основной работы время.
Заключение трудовых договоров о работе по совместительству допускается с неограниченным числом работодателей, если иное не предусмотрено федеральным законом.
Работа по совместительству может выполняться работником как по месту его основной работы, так и у других работодателей.

Совмещение — это Ваши отношения с работодателем в рамках уже заключенного трудового договора. Совместительство — трудовые отношения, подлежащие регулированию новым трудовым договором.

В Вашем случае допускается как совмещение, так и внутренне совместительство. Однако учтите, что совместительство по Вашей просьбе может быть отражено в трудовой книжке, совмещение — нет.