Может ли водитель машины мне что-нибудь предъявить, если я возместила ущерб без расписки?

Здравтсвуйте Оксана. Теоретически этот водитель может обратиться в ГИБДД или в суд за возмещением ущерба. Но, если он будет руководствоваться здравым смыслом, то делать этого не будет. Дело в том, что он, как и Вы скрылся с места дорожно-транспортного происшествия. А это грозит лишением права управления на 1 год. Сомневаюсь, что он захочет рискнуть. 

Во-вторых, напрасно Вы берете сразу вину на себя. Степень виновности в ДТП должны определять уполномоченные на то специалисты. Уверены ли Вы, что водитель поцарапанной машины имел полис ОСАГО, был ли он трезв за рулем, можно ли по степени повреждений утверждать, что вообще имело место ДТП и т.д… Вопросов много. Поэтому беспокоиться не стоит.