Можно ли уйти с работы и не писать заявление?

Доброго дня!

Если вы хотите уволиться по собственному желанию, то заявление писать обязательно. В противном случае, увольнение произойдет по инициативе работодателя.

Здравствуйте Ли.Если трудовой договор не заключали, а что Вы тогда  подписали?

Лучше напишите заявлению как работник в соответствии с ТК РФ, Статья 80

Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.
По соглашению между работником и работодателем трудовой договор может быть расторгнут и до истечения срока предупреждения об увольнении.

С Уважением

Здравствуйте Ли, все зависит от того, что вы подписывали.