Может ли бабушка прописать взрослого внука в свою приватизированную квартиру?

Если у бабушки квартира не приватизирована, то прописка внука даст ему право (внуку) остаться в этой квартире после смерти бабушки. Приватизировать в дальнейшем. 

Если квартира приватизирована, то она может подарить её внуку. Или сделать завещание. Но в случае смерти бабушки кроме наследника по завещанию долю может получить по закону нетрудоспособный наследник. Допустим её сын или дочь, которые находятся на пенсии. 

Эта доля будет меньше, чем при наследовании по закону, но все-таки им может достаться. 

Прописка внука в приватизированную квартиру ничего ему не даёт при получении наследства.

Если бабушка хочет передать квартиру внуку, то она может подарить ее ему. Для этого необходимо оформить договор дарения и зарегистрировать переход права собственности в Росреестре. Еще один вариант, который возможен — завещать квартиру внуку. В этом случае наследование по закону не происходит, а происходит наследование по завещанию. Правда, в этом случае могут быть лица. имеющие право на обязательную долю в наследстве (статья 1149 Гражданского кодекса РФ), которые наследуют независимо от содержания завещания.

Если бабушка на данный момент хочет прописать внука к себе в квартиру, она может это сделать (если ему 14 и более лет), но это не будет основанием для перехода права собственности на квартиру.

В соответствии с п.2 ст.20 Гражданского кодекса РФ  местом жительства несовершеннолетних, не достигших четырнадцати лет, или граждан, находящихся под опекой, признается место жительства их законных представителей — родителей, усыновителей или опекунов. Таким образом, если внуку до 14 лет, и бабушка хочет прописать его к себе, то у бабушки также должен быть прописан один из родителей внука.