Если человек работает по ГПД, может ли он сам перечислять взносы в ПФР?

Добрый день! Нет, не имеет права. Плательщиком взносов за физ. лицо-исполнителя (не ИП) будет именно заказчик.

В силу ст. 419 НК РФ Плательщиками страховых взносов  признаются следующие лица, являющиеся страхователями в соответствии с федеральными законами о конкретных видах обязательного социального страхования:

-  лица, производящие выплаты и иные вознаграждения физическим лицам:
организации;
— индивидуальные предприниматели;
— физические лица, не являющиеся индивидуальными предпринимателями;

Таким образом, плательщиком страховых взносов в вашем случае будет являться заказчик по договору. Начислить и уплатить эти взносы — его обязанность, за неисполнение которой он может быть привлечен к ответственности