Могу ли я взять больничный по уходу за ребенком на себя, если жена-студентка учится?

Да, можете. Застрахованное лицо (опекун, попечитель, иной родственник) имеет право на получение пособия по временной нетрудоспособности в случае необходимости осуществления ухода за больным членом семьи, в том числе за ребенком.  

Статьей 14 Семейного кодекса РФ установлено, что близкими родственниками являются родственники по прямой восходящей и нисходящей линии (родители и дети, дедушки, бабушки и внуки), полнородные и неполнородные (имеющие общих отца или мать) братья и сестры.

Для назначения и выплаты пособия в связи с уходом за больным ребенком работник должен представить работодателю листок нетрудоспособности, который выдается на основании п. п. 34, 35 Порядка выдачи листков нетрудоспособности, утвержденного Приказом Минздравсоцразвития России от 29.06.2011 N 624н (и при необходимости справку о сумме заработка, исходя из которого должно быть исчислено пособие, с места работы у другого страхователя). Представление каких-либо других документов для назначения названного пособия не требуется.