Имеет ли моя мать право на квартиру или как доказать ее права?

Добрый день. К сожалению в Вашем случае Сестра уже стала собственником квартиры. Мама сможет претендовать на квартиру, если докажет, что  изначально между нею и Вашей сестрой существовала  договоренность о том, что мама  оплачивала кредит с целью возникновения между ними совместной собственности. В частности аналогичная позиция содержится в 

О СУДЕБНОЙ ПРАКТИКЕ ПО РАЗРЕШЕНИЮ СПОРОВ, СВЯЗАННЫХ С ПРАВОМ СОБСТВЕННОСТИ НА ЖИЛОЙ ДОМ

ПЛЕНУМ ВЕРХОВНОГО СУДА СССР ПОСТАНОВЛЕНИЕ от 31 июля 1981 г. N 4

...

4. ... Поэтому участие посторонних для застройщика лиц в строительстве дома не
может служить основанием для признания за ними права собственности на часть
построенного дома. Эти лица вправе требовать возмещения собственником дома
произведенных ими затрат. В отдельных случаях с учетом всех обстоятельств
дела суды могут признать за указанными лицами право собственности на часть
дома. При этом необходимо тщательно проверять действительные отношения
сторон, устанавливать причины, по которым строительство дома производилось с
участием лиц, претендующих на признание за ними права собственности на часть
дома, имелась ли между сторонами договоренность о создании общей
собственности на дом.
5. Сам по себе факт содействия застройщику со стороны членов его семьи или
родственников в строительстве дома не может являться основанием для
удовлетворения их претензий к застройщику о признании права собственности на
часть дома.
Такой иск может быть удовлетворен судом лишь в тех случаях, когда между этими
лицами и застройщиком имелась договоренность о создании общей собственности на
жилой дом и именно в этих целях они вкладывали свой труд и средства в
строительство жилого дома.

Если указанной договоренности нет, претендовать на долю в квартире мама не сможет. При этом она может обратиться к Вашей сестре  с требованием о взыскании оплаченных за нее  сумм скажем в качестве неосновательного обогащения- ст. 1102 ГК РФ