Как улучшить жилищные условия в данной ситуации?

Здравствуйте. Если вы или кт-то из членов семьи работает в государственной структуре, то можно подать документы на получение квартиры по социальной ипотеке, также есть программа «Молодая семья». О ней узнайте в администрации Вашего города. Бабушка является ветераном тыла? Если да, то и она может подать документы в администрацию вашего города на получение жилья. В каждом регионе есть свой норматив кв.м., в основном на каждого члена семьи должно выходить по 15 кв.м.

Хотелось бы немного добавить
 В соответствии со ст. 50 ЖК Учетной нормой площади жилого помещения (далее — учетная норма) является минимальный размер площади жилого помещения, исходя из которого определяется уровень обеспеченности граждан общей площадью жилого помещения в целях их принятия на учет в качестве нуждающихся в жилых помещениях. 

 В соответствии со ст. 51 ЖК Основания признания граждан нуждающимися в жилых помещениях, предоставляемых по договорам социального найма  

собственниками жилых помещений, членами семьи собственника жилого помещения, проживающими в квартире, занятой несколькими семьями, если в составе семьи имеется больной, страдающий тяжелой формой хронического заболевания, при которой совместное проживание с ним в одной квартире невозможно, и не имеющими иного жилого помещения.
Исходя из вышеуказанного,  фактически вы нуждаетесь в улучшении жилищных условиях, так как квартира маленькая для проживания шести человек, но необходимо еще подобрать программу для улучшения этих условий. Программ масса, например ветеранам труда положена дополнительная квадратура, молодым семьям, гос служащим, военнослужащим.  Так, что удачи Вам в решении данного вопроса.  

Обязательным условием для постановки на очередь по Москве для всех категорий граждан является наличие нормы площади — менее 10 кв. м общей площади на 1 человека и наличие постоянной регистрации в Москве не менее 10 лет. Это сказано в Законе Москвы № 29 от 14 июня 2006 года «Об обеспечении права жителей Москвы на жилые помещения» с изм. от 28.12.2016 г.  Кроме того, ваша семья должна быть признана малоимущей.