Регистрация ТС прекращена, надо ли наследнику писать заявление о выдаче копии учетной карточки на ТС?

Инна, здравствуйте!

1. Как я поняла, если машина была продана папой по доверенности, то мне беспокоиться не о чем, т.е. машину обязан перерегистрировать на себя покупатель. Надо ли мне убедиться в том, что покупатель уже переоформил машину на себя, написать заявление о выдаче мне учетной карточки на машину? Имею ли я право на такое заявление, если регистрация транспортного средства — машины, уже прекращена в связи со смертью владельца? Будет ли в учетной карточке отражена информация о том, что машина уже переоформлена или другая информация о машине? Если не будет, то как правильно получить письменный ответ из ГИБДД о том, оформил ли покупатель на себя машину?

Нет. Переход права собственности не осуществляется по доверенности, так как 

ГК РФ Статья 185. Общие положения о доверенности

1… Доверенностью признается письменное уполномочие, выдаваемое одним лицом другому лицу или другим лицам для представительства перед третьими лицами.

Т.е. фактическим собственником остаётся Ваш отец и Вы как наследник имеет право получить это имущество. Если покупатель заключил договор купли-продажи, то убедиться о продаже нужно, так как, если этого не произошло нужно возвращать Ваше имущество. Информация будет отражена о регистрации транспортного средства на другое лицо.  Для получения письменного ответа напишите письменное обращение о получении информации. Можете даже направить запрос электронно на сайте ГИБДД МВД России. https://мвд.рф/request_main

ГК РФ Статья 223. Момент возникновения права собственности у приобретателя по договору 

1. Право собственности у приобретателя вещи по договору возникает с момента ее передачи, если иное не предусмотрено законом или договором.

2. А может получиться так, что машина папой не была продана по доверенности, а просто отдана в пользование по доверенности? Если это так, то получается ли, что я буду отвечать за эту машину, платить штрафы (если они есть), или платить налоги? Или прекращение регистрации на машину, освобождает меня от любой ответственности за нее в дальнейшем?

Указано выше. 

3.В случае если она была отдана папой просто в пользование по доверенности, обязана ли я сейчас искать где эта машина, отвечать за нее, забрать ее, переоформить ее на себя? Машина эта мне не нужна, просто не хочу в дальнейшем как то отвечать за нее или заниматься этим, и поэтому, мне необходимо сейчас закрыть навсегда этот вопрос.

Лучше осуществить поиск автомобиля, а также получить информацию о перерегистрации, либо принять меры к возврату автомобиля и надлежащего оформления документов.  

4. А если машина была передана папой кому то в пользование без доверенности? Видимо это не является правильным, но что будет в этом случае, особенно, если человек, который ею пользовался что то нарушил и это было как то зафиксировано, какие тогда должны быть мои действия?

4. Успею ли я предпринять какие то действия относительно машины, если после вступления меня в наследство прошло 6 рабочих дней? После истечения 10 рабочих дней я теряю право обращаться в ГИБДД с каким то вопросом относительно машины?

Если личные поиски не приведут к успеху, то можете обратиться в полицию, которая будет проводить проверку и выставить автомобиль в розыск. На первом посту автомобиль будет задержан.  Право на обращение в полицию Вы не теряете. 

Здравствуйте, Инна!

Здесь вот какая проблема есть.

Если Вы не зарегистрируете на себя автомобиль в течении 10 дней после вступления в наследство, то Вас могут привлечь к административной ответственности.

Правила регистрации автомототранспортных средств и прицепов к ним в Государственной инспекции безопасности дорожного движения Министерства внутренних дел Российской Федерации, утв. Приказом МВД России от 24.11.2008 N 1001 «О порядке регистрации транспортных средств»
4. Собственники транспортных средств либо лица, от имени собственников владеющие, пользующиеся или распоряжающиеся на законных основаниях транспортными средствами, обязаны в установленном порядке зарегистрировать их или изменить регистрационные данные в течение срока действия регистрационного знака «ТРАНЗИТ» илив течение 10 суток после приобретения, таможенного оформления, снятия с регистрационного учета транспортных средств, замены номерных агрегатов или возникновения иных обстоятельств, потребовавших изменения регистрационных данных.

Статья 19.22 КоАП РФ. Нарушение правил государственной регистрации транспортных средств всех видов, механизмов и установок

1. Нарушение правил государственной регистрации транспортных средств всех видов (за исключением строящихся судов, морских судов, судов смешанного (река — море) плавания, судов внутреннего плавания, включая маломерные суда), механизмов и установок в случае, если регистрация обязательна,
— влечет наложение административного штрафа на граждан в размере от одной тысячи пятисот до двух тысяч рублей; на должностных лиц — от двух тысяч до трех тысяч пятисот рублей; на юридических лиц — от пяти тысяч до десяти тысяч рублей.

Также имейте в виду, что если автомобиль передавался по доверенности, то после смерти Вашего отца доверенность прекратилась.

Статья 188 ГК РФ Прекращение доверенности

1. Действие доверенности прекращается вследствие:

5) смерти гражданина, выдавшего доверенность, признания его недееспособным, ограниченно дееспособным или безвестно отсутствующим;

Рекомендую Вам подать заявление на регистрацию автомобиля за собой, и одновременно заявление на снятие автомобиля с учёта вследствие его утраты.

5. В отношении утраченных, похищенных, а также вывезенных за пределы Российской Федерации транспортных средств регистрация прекращается на основании заявлений собственников (владельцев) транспортных средств.

Транспортный налог Вы в таком случае за 1 день платить не будете.

Вопрос: Об уплате транспортного налога, если транспортное средство зарегистрировано и снято с регистрации в один день.
(Письмо Минфина России от 24.08.2016 N 03-05-05-04/49344)

В случае если регистрация и снятие с регистрации транспортного средства произошли в один день, то уплата транспортного налога в отношении данного транспортного средства Кодексом не предусмотрена.

И после этого продолжать поиски автомобиля.