Здравствуйте Олег.
Тут работники ЗАГС явно перегнули палку, так как заявление о рождении вправе и Вы подать. Если Вам отказывают устно, напишите письменное заявление. На него Вам должны дать ответ. Либо обратитесь в прокуратуру, чтобы они дали правовую оценку действиям работников ЗАГС.
п. 1 ст. 16 Федерального закона от 15.11.1997 N 143-ФЗ «Об актах гражданского состояния»
Родители (один из родителей) заявляют о рождении ребенка устно или в письменной форме в орган записи актов гражданского состояния либо направляют заявление о рождении ребенка в форме электронного документа через единый портал государственных и муниципальных услуг. Заявление о рождении ребенка, которое направляется в форме электронного документа, подписывается простой электронной подписью заявителя.
Олег, для более детальной проработки интересующего Вас вопроса, получения расширенной консультации и (или) составления необходимых юридических документов Вы можете обратиться ко мне в чат
Да этого достаточно.