Возможно ли подать заявление на отчисление по собственному желанию во время экзаменов?

Здравствуйте. Да, Вы имеете такое право.

Статья 61 ФЗ «Об образовании  в РФ».

1. Образовательные отношения прекращаются в связи с отчислением обучающегося из организации, осуществляющей образовательную деятельность досрочно в следующих случаях:
1) по инициативе обучающегося или родителей (законных представителей) несовершеннолетнего обучающегося, в том числе в случае перевода обучающегося для продолжения освоения образовательной программы в другую организацию, осуществляющую образовательную деятельность;